Zadania z procentami. O ile procent wzrosła lub zmalała liczba

Zadanie 1.

Liczba a zwiększyła się trzykrotnie. O ile procent zwiększyła się liczba a?

Rozwiązanie
Do obliczenia o ile procent zwiększyła się liczba a skorzystamy ze wzoru:

$\frac{\mathrm{3a}-\mathrm{a}}{\mathrm{a}}\cdot \mathrm{100\%}=\frac{\mathrm{2a}}{\mathrm{a}}\cdot \mathrm{100\%}=\mathrm{200\%}$

Aby obliczyć o ile procent zwiększyła się liczba, w liczniku ułamka umieszczamy różnicę liczb - przed i po zmianie. Od większej liczby, tej która wzrosła trzykrotnie odejmujemy mniejszą. W mianowniku umieszczamy liczbę przez zmianą. Następnie ten ułamek mnożymy razy 100%, aby wynik wyszedł w procentach.

Zmiennej a pozbywamy się poprzez skrócenie w liczniku i mianowniku.

Odpowiedź
Liczba a wzrosła o 200%.

Zadanie 2.

Liczba b zwiększyła się czterokrotnie. O ile procent zwiększyła się liczba b?

Rozwiązanie
Postępujemy analogicznie do Zadania 1, podstawiając nowe zmienne do wzoru:

$\frac{\mathrm{4b}-\mathrm{b}}{\mathrm{b}}\cdot \mathrm{100\%}=\frac{\mathrm{3b}}{\mathrm{b}}\cdot \mathrm{100\%}=\mathrm{300\%}$

Odpowiedź
Liczba b wzrosła o 300%.

Zadanie 3.

Liczba c zmniejszyła się dwukrotnie. O ile procent zmniejszyła się liczba c?

$\frac{c-\frac{c}{2}}{c}\cdot \mathrm{100\%}=\frac{\frac{\mathrm{2c}}{2}-\frac{c}{2}}{c}\cdot \mathrm{100\%}=\frac{\frac{c}{2}}{c}\cdot \mathrm{100\%}$

$\frac{c}{2}\cdot \frac{1}{\mathrm{c}}\cdot \mathrm{100\%}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{100\%}=\mathrm{50\%}$

Rozwiązanie
Zadanie jest bardzo podobne do poprzednich dwóch z tą różnicą, że obliczamy o ile procent liczba się zmniejszyła.

Podstawiamy wszystkie zmienne do wzoru. W liczniku ułamka ponownie umieszczamy różnicę liczb - przed i po zmianie, i podobnie od większej liczby odejmujemy zmniejszą.

Liczba c zmniejszyła się dwukrotnie, zatem możemy ją zapisać jako ułamek zwykły z 2 w mianowniku.

W mianowniku głównego wzoru ponownie umieszczamy liczbę przed zmianą a cały ułamek mnożymy przez 100% aby otrzymać wynik w procentach.

Aby w liczniku obliczyć różnicę podstawionych liczb, zamieniamy je do ułamków zwykłych i sprowadzamy do wspólnego mianownika.

Następnie, aby pozbyć się ułamka piętrowego, otrzymany wynik różnicy z licznika ułamka głównego mnożymy przez odwrotność liczby z jej mianownika.

Podczas mnożenia ułamków możemy skrócić i pozbyć się już zmiennej c.

Otrzymany ułamek mnożymy przez 100 procent i otrzymujemy wynik końcowy.

Odpowiedź
Liczba c zmalała o 50%.

Zadanie 4.

Liczba d zmniejszyła się trzykrotnie. O ile procent zmniejszyła się liczba d?

$\frac{d-\frac{d}{3}}{d}\cdot \mathrm{100\%}=\frac{\frac{\mathrm{3d}}{3}-\frac{d}{3}}{d}\cdot \mathrm{100\%}=\frac{\frac{\mathrm{2d}}{3}}{d}\cdot \mathrm{100\%}$

$\frac{\mathrm{2d}}{3}\cdot \frac{1}{\mathrm{d}}\cdot \mathrm{100\%}=\frac{2}{3}\cdot \mathrm{100\%}\approx \mathrm{66,67\%}$

Rozwiązanie
Podstawiamy nowe zmienne i liczby do wzoru analogicznie do zadania 3.

Odpowiedź
Liczba d zmniejszyła się o około 67%.